Hareket ve Newton Fiziği Üzerine Notlar

ÖZET

 Fizikte mekaniğin merkezine oturan hareket,
Newton tarafından matematiksel olarak ifade edilinceye kadar çeşitli
aşamalardan geçmiştir. Newton, klasik fizik ölçeğinde[1]
geçerli kabul edilen hareket ve kütle çekim yasalarını ortaya koymadan önce, gerek
Dünya’nın gerekse Dünya üzerindeki nesnelerin hareketi hakkındaki fikirlerin
deneysel ve teorik uyumluluğu tartışmalıdır. Buradaki hedef, hareketle ilgili
Newton öncesi tartışmalardan bazıları ile Newton’un hareket ve kütle çekim
yasaları üzerine birinden diğerine geçişle giriş düzeyinde fikir vermektir.
Matematiksel ifadelere yer verilmesinin yanında, okuyucuya yardımcı olması
amacıyla sonsuz küçük değişimlerin oranı hakkında giriş düzeyinde bilgi verilmiştir.

  1. Giriş

İzlediğimiz
dünyada ve onun dahil olduğu evrende hareketi gerek gözlemlemiş, gerekse
bireysel olarak deneyimlemişizdir. Günlük hayatta iç içe olduğumuz hareketin
arkasında ne olduğunu, nasıl görünüşe çıktığını ya da çıkacağını bilmek mümkün
müdür? Çoğumuz gündelik hayatta bu sorunun olası cevaplarını bilmeden ya da
belirli bir düzeyde bilsek bile bu cevapları kullanmadan nesneler üzerindeki
deneyimlerimizle hayatımızı sürdürebiliriz. Fakat pratikte de örneğin  mevsimleri, hava durumunu ve hareketlerini
önceden bilmek bir çiftçi için çok önemli olabilir. Bilimsel bilgiye
erişilmemiş yerlerde ve dönemlerde insanlar bu tip sorunlara karşı deneyimle
elde ettikleri bilgiye başvurarak çözümler geliştirdiler. Böyle bir dönemde ya
da yerde yaşayan insana, doğa olaylarının arkasındaki yasaları bilmek ve ona
göre tedbir almak rahatlık sağlar. Doğa karşısındaki problemler için
geliştirilen uygulamalar, bilimin hayatta kalmak için başlayan ve daha
sonraları konfor sağlayan uygulamaları olarak görülebilir. Gündelik yaşamda
konfor sağlayan bilimin  uygulamaları (teknoloji)
dışında, nasıl bir evrende, dünyada ya da zihinde yaşadığımız sorusunun önemi
yok mudur? Hareket olgusu ister temel ister uygulamalı bilimler olsun bu
noktada karşımıza çıkar. Evrendeki galaksilerde, gezegenlerde, atomda ve çekirdeğinde,
bir gerilimin iki ucuna bağlı iletkenin içerisinde bir uçtan diğerine zorluklara
rağmen ilerleyen elektronlarda ya da kalpten pompalanan kanda, hareketi
izleriz. Bir aşamadan sonra şu soruyu sorabiliriz: Hareket etmeyen bir şey var
mıdır?

Hareket,
bir nesnenin yerinin değişmesi anlamını taşır. Fizikte hareket, bir
nesnenin  uzayda belirlenen bir referans
sistemine göre konumunun değişmesidir ve bu değişim zamana göre izlenir.  Nesnenin konumu, nesnenin bu referans
sisteminin merkezine (başlangıcına, sıfır noktasına (orijin)) göre bulunduğu
yerdir. O halde hareket, uzayda bir referans sistemine göre belirli bir anda, belirli
bir konumda  bulunan nesnenin, yine bu
referans sistemine göre belirli bir anda başka bir konuma geçmesi, yani
referans sistemine göre belirli bir sürede yer değiştirmesidir. Yer değişiminin
birim zamana (örneğin 1 saniyeye ya da 1 saate) göre ölçülmesi bizi hız
kavramına götürür. Görüldüğü gibi fizikte hareketi tanımlayabilmek için uzay,
referans sistemi, orijin, konum, yer değiştirme, zaman gibi kavramlara
ihtiyacımız var. Buradan ilerlemeyi sürdürmeden önce hareketle ilgili
görüşlerin gelişimine kısaca bir bakalım.

II. Dünyayı Gökyüzüne Çıkarmak…[1]

 Hareketle ilgili ilk kabul edilen görüşler
Aristoteles (M.Ö. 384 – 322)’e aittir. Hem gündelik yaşamla uyumlu olması, hem
de Aristoteles’in geniş çevrelerce kabulü, uzun yıllar bu görüşlerin sorgulanmasının
önüne geçmiştir. Bu sorgulamanın ortaya çıkışı Galilei’nin Dünya merkezli (diğer
bir ifade ile yer merkezli, geosentrik) bir evrende miyiz? yoksa Güneş merkezli
(diğer bir ifade ile gün merkezli, heliosentrik) bir evrende miyiz? sorularına
cevap aramasıyla bağlantılıdır. Galilei’ye kadar kabul edilen evren modeli,
Aristoteles tarafından ortaya atılan ve Batlamyus (Ptolemaios, Ptolemy
– M.S. 100-170) tarafından daha da geliştirilen yer merkezli evren modelidir. Aristoteles’in
Eudoxus’tan köklerini aldığı bu evren modeline göre; en dışta “ilk hareket ettirici”
(Prime Mover), eş merkezli ve iç
içe geçmiş kristal kürelerin hareketini sağlar, iç içe kristal kürelerin
hareketiyle tüm gezegen ve yıldızlar Dünya etrafında dairesel hareket eder,
Dünya merkezde ve sabittir (Şekil 1 A). Batlamyus, bu modelin gözlemlerle olan
uyuşmazlığını gidermek için episiklik (epicycle, merkezi dairesel yörünge
üstünde olan ikinci bir dairesel yörünge) yörüngeleri modele ekler ve merkezi de
Dünya’dan bir miktar kaydırır (Şekil 1 B ve Şekil 2). Yapılan düzenlemeler,
Aristoteles’in modeli ile açıklanamayan gezegenlerden gelen ışığın değişimine
ve gezegenlerin retrograd hareketine bir uyum getirmek içindi. Bu tip
düzenlemeler yer merkezli sistemin eksikliklerini gidermeye çalışırken, ona
karşı ilk gün merkezli model, Sisamlı Aristarkus (M.Ö. 310–230)
tarafından önerildi. Aristarkus’un çalışmalarına doğrudan erişilemese de,
Archimedes’in Kum Sayacı adlı eserinde bu çalışmalardan bahsetmesiyle bilindi.
Çok sonraları Nicolaus Copernicus (1473-1543), Batlamyus’un yer merkezli evren
modelinin karmaşık, doğanınsa bu kadar karmaşık olmayacağını düşünerek
geometrik olarak daha basit olan gün merkezli modelini Göksel Kürelerin Devinimi Üzerine  [2]
adlı eserinde sundu. Bu modele göre Dünya hem kendi hem de merkezde bulunan
Güneş etrafında dairesel hareket eder (Şekil 3). Yer merkezli evren modelinin
gündelik deneyimlerle uyumluluğu hem Aristarkus hem de Copernicus’un gün
merkezli modellerinin karşısında durdu. Gün merkezli model; yer merkezli evren
modelinin duyularla olan uyumluluğuna karşı, Galilei’nin duyuların bizi
yanıltabileceğini göstermesini bekleyecekti. Galilei’nin yaşadığı dönemde daha
çok savaşlarda üstünlük sağlayacağı düşünülen teleskopun keşfi ve Galilei’nin
kendi geliştirdiği teleskopunu gökyüzüne doğrultması, yer merkezli modelin uyumsuzluklarını
ve bunun yanında gün merkezli modelin uyumluluklarını gözlemesine olanak
sağladı. Fakat yer merkezli modeli savunanların, gün merkezli model ile ilgili daha
önceden beri ortaya koydukları soru(n)lar vardı. Batlamyus büyük eseri
Almagest’te gün merkezli evrene yönelik bu sorunlardan bahseder. Dünya’nın
hareketiyle gözlemlenmesi beklenen bazı durumların gözlemlenmemesi ve buna
bağlı olarak Dünya’nın hareket etmemesi gerektiğini savunan Batlamyus
düşüncesinde, Dünya üzerindeki nesnelerin Dünya’nın hareketine katılması durumu
bulunmamaktadır. Bu durum da Galilei’nin irdeleyeceği Aristoteles’in hareket
üzerine görüşleri ile bağlantılıdır.  

A

B

Şekil
1.  A)
Aristoteles Evreni [4]. B)
Batlamyus’un yer merkezli modelinde gezegenin hareket ettiği episiklik yörünge
[5]. Gezegenin hareket ettiği episiklik yörüngenin merkezinin dairesel
yörüngesi deferent (taşıyıcı) ve merkezi C. 
Dünya’nın merkezinin C’den bir miktar uzağa kaydığı izleniyor. C ve Dünya
farklı merkezler (yani dış merkezli (eccentric)) olduklarından bu merkezlere
göre dairesel yörüngeler de dış merkezli yörüngelerdir. Eğer bu iki merkez
aynı  nokta olsaydı,  bu yörüngeler eş merkezli (cocentric)
olacaktı.

Şekil 2. Batlamyus modelinde T, Dünya’nın merkezi; C, R yarıçaplı deferent’in merkezi; E, ekuant; ω dış merkezli (epicycle) çemberin ve Ω, EP yarıçaplı çemberdeki P noktasının açısal hızları [6].

Ekuant: Arsitoteles’e göre yer merkezli modelde gezegenlerin “mükemmel” düzgün dairesel hareketi,  Batlamyus modelinde tam korunmasa da Batlamyus bu mükemmelliği koruyan, gezegenin düzgün dairesel hareket yapabileceği, yani dairesel yörünge üzerinde sabit açısal hızla (Ω) hareket edebileceği bir merkez bulur. Bu merkeze ekuant (equant) denir. Şekildeki TC ve CE mesafeleri, olması gerekenden büyük ölçekli [6].

Şekil 3. Copernicus gün merkezli evren modeli, dıştan içe Sabit yıldızlar

1.Sabit yıldızlar
2.Satürn
3.Jüpiter
4.Mars
5.Dünya ve Ay
6.Venüs
7.Merkür
küreleri ve merkezde Güneş [2].

Modelde dairesel yörüngelerdeki hareketler Aristoteles ve Batlamyus modelindeki gibi kürelerin hareketiyle sağlanmaktadır.

Modelde dairesel
yörüngelerdeki hareketler Aristoteles ve Batlamyus modelindeki gibi kürelerin
hareketiyle sağlanmaktadır.

Galilei’nin,
her ne kadar gözlemleri yer merkezli modelin sorunlarını gösterir nitelikte
olsa da Aristoteles’in gündelik deneyimlerle uyumlu ama çelişkili hareket görüşleri
ile ters düşen gün merkezli modele getirilen olumsuz eleştirilere cevap bulması
gerekiyordu. Aristoteles’e göre hareket Fizik adlı eserinde belirttiği gibi iki
grupta incelenebilir:

  1. Doğal Hareket:
    Nesneler doğal yerlerine dönme eğilimindedirler. Yüksekten serbest bırakılan
    bir taş Dünya’nın merkezine doğru hareket eder.
  2. Zorunlu Hareket: Hareket
    eden şey, bir şey tarafından hareket ettirilir.

Zorunlu hareketin bu haliyle açıklayamadığı bir örnek
verelim: Herhangi bir nesneyi ileri doğru attığımızı, hareketini başlattığımızı
düşünelim. Elden çıkan nesne onu hareket ettirenden ayrılmış olmasına rağmen,
yere düşene kadar hareketine devam eder. Öyleyse hareket ettirenden ayrılan
nesneyi hareket ettiren nedir? Zorunlu hareket görüşü ile bu durum
çelişmektedir. Fizik eserinin 8. kitabında bu durumu Aristoteles fark eder ve ona göre bu durum şöyle açıklanır: İleri attığımız nesneyle temas kesildikten
sonra nesnenin hareketi, hareket ettiği ortam  tarafından devam ettirilir. Bu örnek için elden
çıktıktan sonra nesneyi hareket ettiren, hareket ettiği ortam olan havadır.

Zorunlu harekete göre gün merkezli evren modelinin
mümkün olup olamayacağına bakalım. Bunun için Dünya hareket ederken yüksekten
serbest bırakılan nesnenin durumunu inceleyelim. Başlangıçta nesne, nesneyi
tutan kişinin elindedir. Nesne serbest bırakıldığında elden çıkar ve düşeyde
doğal harekete bağlı olarak yere doğru düşüşe geçer. Düşeyde düşerken yatayda
nesneyi hareket ettiren olmadığı için zorunlu harekete göre yatayda
hareket etmemesi, yer değiştirmemesi, yani durması beklenir. Nesne yere düşene
kadar geçen zamanda Dünya, hareketi sebebiyle yatayda yer değiştirdiğinden, nesnenin
serbest bırakıldığı noktaya dik doğrultuda bir noktaya düşmesi yerine bu
noktadan farklı bir noktaya düşmesi beklenir. Bu durum yüksekten serbest
bırakılan nesnelerde gözlemlenmediği için Dünya hareket ediyor olamaz.   

Zorunlu hareket görüşü yanlış ya da eksik olabilir
mi? Bu aşamada Galilei bilimsel yöntemin temelini oluşturacak şekilde; gözlem,
gözlemlerden mantık yoluyla çıkarsanan önermeler ışığında tasarlanan deney,
deney sonuçlarına bakılarak yapılan mantıksal çıkarımlarla Aristoteles’in hareketle
ilgili görüşlerini sorgular ve çelişkilerini ortaya koyar. Bu yaklaşım
bize  bilimsel teorilerin ortaya
konmasında ne sadece gözlem ve deney ne de teorinin tek başına yeterli olduğunu
gösterir. Bununla birlikte duyularla edinilen bilginin güvenilirliğini
sorgulamanın önemi de ortaya çıkmaktadır. Galilei’nin, bilimsel yönteme
getirdiği düzenlemelerle artık bilim ya da doğa felsefesi eskisi gibi değildir
ve bu sebeple bazı bilim çevrelerince modern bilimin Galilei ile başladığı
kabul edilir.

Galilei, 1632’de yayınlanan, Copernicus ve Batlamyus
evren modellerini incelediği İki Büyük Dünya Sistemi Hakkında
Diyalog adlı eserinde Aristoteles’in
hareketle ilgili görüşlerini sorgular, çelişkilerini ortaya koyar ve
böylelikle Copernicus modelinin  geçerli olabileceğini göstermiş olur. Galilei
eserinde Salviati, Sagredo ve Simplicio adlı üç kişiyi tartıştırarak bunu
sağlar. Salviati ve Sagredo Batlamyus sistemini sorgularken, Simplicio savunmadadır.
Gün merkezli sistemin mümkün olup olamayacağına dair bir örnek olarak, yukarıda
verilen Aristoteles’in hareket görüşlerini içeren ve Batlamyus’un öne sürdüğü
sorunlarla uyumlu serbest düşme ile ilgili bir sorgulamayı özet olarak verelim:

Salviati:
Yüksekten serbest bırakılan bir cisim yere dik bir doğru üzerinde yerin
merkezine doğru hareket eder. Bu da yerin hareket etmediğini gösterir. Çünkü
eğer yer hareket etseydi, cisim düşüş süresi boyunca yer hareket edeceğinden
dikey doğrultudaki nokta yerine daha farklı bir noktaya düşerdi. Bu deneyi bir
gemide denersek, eğer gemi direğinden bir taşı serbest bırakırsak gemi
hareketsizken taş direğin alt ucuna düşer. Eğer gemi ileri hareket ederken taşı
direğin tepesinden serbest bırakırsak, taş direğin alt ucu yerine gerisinde bir
noktaya düşer. Gemi direğinden serbest bırakılan taş eğer direğin alt ucuna
düşüyorsa gemi hareket etmiyordur. Benzer şekilde yerde, yüksekten serbest
bırakılan taş dikey doğrultudaki noktaya düşüyorsa yer hareket etmiyordur. Siz
bunu söylüyorsunuz değil mi?

Simplicio:  Evet, tam da budur.

Salviati: Şimdi
bana şunu söyleyin: Eğer gemi, (sabit) hızla hareket ediyorken taş direkten
serbest bırakılırsa, taş geminin hareket etmediği durumdaki gibi direğin alt
ucuna düşerse bu durum geminin hareket edip etmediğini belirlemeye yardımcı
olur mu?

Simplicio: Hayırbunun hiçbir yararı olmaz.

Salviati:  Siz hiç gemide bu deneyi yaptınız mı?

Simplicio: Hayır,
yapmadım. Çünkü otoritelere güveniyorum.

Salviati: Deney
şimdiye kadar yazılanların tersini gösterecektir. Gemi ister dursun ister
istenen bir (sabit) hızda hareket etsin, direkten serbest bırakılan taş her
seferinde direğin ucuna düşecektir. Aynı sebepten kuleden serbest bırakılan bir
taşın kulenin dibine düşmesine bakılarak yerin hareket edip etmediği
anlaşılamaz.

Galilei yukarıdaki tartışmada sabit hızla hareket
eden bir sistemin içerisinden, sistemin hareket edip etmediğinin anlaşılamayacağını
söyler. Galilei aslında, (neredeyse) sabit hızla Dünya’nın hareket ettiğini
değil, Dünya’nın hareket edip etmediğinin Dünya üzerindeyken
belirlenemeyeceğini söyler. Böylelikle Copernicus’un gün merkezli evren
modelinin konuşulabilmesi imkanlı hale gelir.  Galilei ulaştığı bu sonuçla hem daha sonra
değineceğimiz Newton’nun ilk hareket yasası olan “eylemsizlik” prensibine zemin
oluşturmuş hem de göreli hareketten
bahsetmiştir. III. Kısımda Aristoteles’in hareket görüşleri ile ilgili incelemelere
 devam edeceğiz.

Copernicus evren modelinin dairesel yörüngeleri
titiz gözlemlerle bakıldığında halen sorun oluşturabiliyordu ki;  Copernicus modeli her ne kadar Batlamyus
modeline göre daha “doğal” olsa da bu modelde de episiklik yörüngeler
bulunuyordu. Bu eksikler matematikçi ve astronom Kepler’in dikkatini çekti.
Titiz gözlemleri ile bilinen astronom Tycho Brahe (1546 – 1601)’nin asistanı
olan Johannes Kepler (1571 – 1630), Brahe’nin ölümünden sonra devraldığı gözlem
kayıtlarına kendi yaptığı gözlemlerini de ekleyerek Copernicus modelini ileriye
taşıdı. Başlangıçta gezegenlerin hareketlerini kendisinden öncekilerle
benzerlikler taşıyacak şekilde  tasarladı.
Fakat elindeki verilerin daha hassas olması, geçmiş modellerle kıyaslandığında
daha basit bir model arayışı, gezegenlerin dönem dönem hızlanmaları veya
yavaşlamaları problemi, onu Güneş’i bir dairesel yörüngenin merkezine
yerleştirmek yerine, bir elipsin merkezine yerleştirmenin daha tutarlı olacağı düşüncesine
getirdi. Kepler gözlemlerin ve hesapların uyumlu olması gerektiğini düşünerek,
yaptığı çalışmaların sonucunda, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketiyle
ilgili 3 sonuca ulaştı. Bunlar Kepler yasaları olarak bilinir:

  1. Her gezegen,
    odağının birinde Güneş olan elips yörüngede hareket eder (Şekil 4).
  2. Güneş’le
    gezegeni birleştiren doğru, eşit zaman aralıklarında eşit alanları tarar (Şekil
    4).
  3. Her gezegenin periyodunun
    (yörüngeyi bir tur dolanma süresinin) karesi, yörüngesi olan elipsin ana eksen
    uzunluğunun yarısının küpü ile orantılıdır ve bu oran sabittir (Şekil 4).

Şekil 4. Gezegen 1 (planet 1) ve gezegen 2 (planet 2)’nin F1 odağında bulunan Güneş (Sun) etrafındaki elips yörüngeleri [7]. Gezegen 1 için eşit zaman aralıklarında A1 ve A2 alanları eşit. T1 periyotlu Gezegen 1’in yörüngesi olan elipsin ana eksen uzunluğunun yarısı  a1 ve T2 periyotlu Gezegen 2’nin yörüngesi olan elipsin ana eksen uzunluğunun yarısı  a2 olmak üzere sabit.

Kepler yasalarına bakıldığında örneğin, gökyüzünde
gözlemlenen Güneş etrafında elips yörüngede hareket eden gezegenin periyodu bilinirse,
ne kadar süre sonra tekrar aynı konumda gözleneceği bilinebilir. Bir gezegenin
periyodu ve ana eksen uzunluğu biliniyorsa III. Yasayı kullanarak, periyodu
bilinen başka bir gezegenin, yörüngesinin ana eksen uzunluğu ya da ana eksen
uzunluğu bilinen başka bir gezegenin, periyodu hesaplanabilir (Şekil 4).

Kepler gözlemlere dayalı olarak gezegenlerin hareketini
(kinematik) belirlemişti ve hareketin arkasında fiziksel bir sebebinin olabileceğini
düşünüyordu. Hareketin  arkasındaki
sebeple ilgili matematiksel açıklama (dinamik) Isaac Newton’dan gelecekti.

  1. Dünya’nın
    hareketinden Dünya Üzerindeki Harekete…

Aristoteles’e göre dört elementin (toprak, su, hava ve ateş) doğal hareketi
doğal yerlerine doğru ve dikey doğrultudadır. Elementler doğal yerlerine
ulaştıklarında doğal hareket sonlanır [8]. Bir taşı havaya attığımızı
düşünelim, taş harekete zorlanmıştır (zorunlu hareket) ve havada maksimum
yüksekliğe ulaştıktan sonra doğal yerine doğru (yani Dünya’ya (toprağa) doğru,
doğal hareket) hareket eder, ulaşınca da durur, bu taşın doğal durumudur. Taş yerden
 hareket ettirilmediği sürece bulunduğu
yerde durur. Galilei ve sonrasında Newton için bu doğal durum Aristoteles için
olandan farklıdır. Onlara göre taş, durmanın yanında yere göre (nesneye
uygulanan net kuvvetin sıfır olduğu durumlarda) hareket ederken de doğal
durumda kalabilir. Bu durumu Newton’un I. hareket yasasında ifade edeceğiz.
Galilei 1638’de yayınlanan İki Yeni Bilim Üzerine Diyaloglar adlı eserinde
nesnelerin hareketleri üzerine yaptığı deneysel ve teorik çalışmalarını
sürdürmüştür. Bir diğer karşılaştırma da bu eserinde irdelemeye devam ettiği
yüksekten serbest bırakılan cisimlerin yere düşüş süratleri ile ilgili
yapılabilir. Aristoteles Fizik kitabında yüksekten serbest bırakılan nesneler
için “ağır” olanların “hafif ” olanlardan daha büyük süratle düştüğünü ve
süratin ortamın yoğunluğu ile ters orantılı olduğunu söyler. Galilei ise eğik
düzlemler üzerinde yaptığı dikkatli deneyler ve analizlerle vakum ortamında serbest
düşen nesnelerin ivmesinin kütlelerine bağlı olmadığını söyler [9].

Buraya kadar Newton öncesi hareketle ilgilenen bilim adamı ve filozoflardan
bazılarının yaptığı çalışmaların bir kısmını sunmuş olduk. Sonraki kısımda  ise Newton’un hareket ve kütle çekim yasalarını
inceleyeceğiz. Buraya yönlenişimizin sebepleri, bu yasaların Galilei’nin ve
Kepler’in çalışmalarının bir uzantısı olması, hareketin sebebi ve sonucu
arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmesi, daha sonra gelen kuantum,
görelilik teorileri gibi teorilere de bir kalkış noktası sağlaması ve klasik
fizik ölçeğinde halen geçerli kabul edilmesidir.

  1. Devlerin
    Omuzlarında Yükselmek

Isaac Newton (1642-1727), Galilei’nin ve Kepler’in
çalışmalarından da faydalanarak hem hareket yasalarına hem de Evrensel Kütle
Çekim Yasası’na ulaşmıştır. Newton, hareketin sebebi olarak kuvveti ve
nesnelerin üzerine uygulanan kuvvetlerle nesnelerin hızlarının değişimini;
gezegenleri hareket ettiren kuvvetin kütleye, kütleler arası mesafeye bağlı
olduğunu matematiksel ifadelerle ortaya koyar ve bu yasaları ortaya koyarken
gerekli olan sonsuz küçüklerle ilgili matematiksel yöntemleri (calculus) de
geliştirir. 1687’de yayınlanan Doğa Felsefesinin Matematiksel İlkeleri
(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) adlı eserinde bugün klasik fizik
diye isimlendirdiğimiz alanla ilgili birçok konuyu bir araya getirmiştir.

Newton hareket yasalarına giriş yapmadan evvel bazı
kavramlar üzerinde durmak yararlı olur.

  1. Vektörel ve Skaler
    Nicelikler

Fizikte nicelikler iki grupta toplanabilir.
Bunlardan biri skaler nicelikler, diğeri ise vektörel niceliklerdir. Skaler
nicelikleri ifade ederken bir sayı ve birim yeterlidir. Kütle, zaman, iş,
enerji, sıcaklık … gibi kavramlar skalerdir. Bir cismin kütlesini belirtirken örneğin
2 kg (kilogram) demek yeterlidir. Diğer yandan vektörel nicelikleri ifade
ederken sayı ve birimin yanında bir referans sistemine göre ifade edilen yön
bilgisi de gereklidir. Konum, yer değiştirme, hız, ivme, kuvvet … gibi
kavramlar vektöreldir. Bir hareketlinin hızını belirtirken, bir referans
sistemine göre örneğin hızı “doğuya 50 km/sa” demek yeterlidir. Buradaki yönü,
“doğu” yerine referans sistemlerinde farklı matematiksel ifadelerle belirtmek
mümkündür. Diğer yandan 50 km/sa (yani sayı ve birim) tek başına vektörün (bu
örnekte hız vektörü) büyüklüğünü belirtir,
yön bilgisini içermez.Yani skaler
nicelikler yönden bağımsızken, vektörel nicelikler yöne bağımlıdır. Matematiksel
hesaplar yapılırken, vektörler için kullanılan matematiksel yöntemler,
skalerler için kullanılan yöntemlerden farklıdır ve birbirleriyle ilişkilidir.
Vektörler matematiksel olarak ifade edilirken, bir sembol (genelde harf) ve bu sembolün
üzerinde bir ok ile gösterilir. Örnek:   . Vektörün büyüklüğü ise vektörün
boyu anlamına gelen ǀ   ǀ (iki çizgi)arasına vektör
ifadesinin yazılması ile (örnek:  ) veya sadece vektörü temsil eden
harfin ok kullanılmadan yazılması (örnek: ) ile gösterilir. Skaler nicelikleri göstermede böyle dertler yoktur,
sadece sembol yeterlidir.

  1. Referans Sistemleri

Referans;
başvurma, dayanak, kaynak gösterme… gibi anlamlar taşır. Bir nesnenin hareketi
bir noktaya göre ifade edilir. Nesne o noktaya göre hareket eder ya da
etmez.  Referans sistemi / çerçevesi
(reference frame), hareketlinin “durumunu” ona
dayanarak belirlediğimiz sistemlerdir ki; bu da uzayda belirlenen bir
koordinat sistemidir. Newton’un hareket yasaları ve belirlediği fizik; konum,
yer değiştirme, hız, ivme, kuvvet gibi vektörel niceliklerle ilgili
olduklarından, bu vektörel niceliklerin durumları koordinat sistemlerine göre
belirlenir. Koordinat sistemleri, nesnelerin bu sistemin merkezine göre belirlenen
konumlarını belirlemeyi sağlar. Kartezyen, silindirik, küresel… gibi birçok
çeşidi vardır. Diğerlerine göre daha basit ifade edebileceğimiz 3 boyutlu kartezyen
koordinat sistemi, birbirine dik 3 eksenden oluşur. Bu 3 eksenin oluşturduğu
kartezyen koordinat sistemi, 3 boyutlu Öklit uzayını temsil eder (Şekil 5). Hareketi
incelerken Newton hareket yasalarının kullanılabilmesi için referans sisteminin
eylemsiz olması da ayrıca önemlidir (bkz. Newton’un I. hareket yasası).

Şekil 5. 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemi [10].   vektörü, birbirine dik x,y ve z eksenlerinin üzerine olan iz düşümleri ile ifade edilebilir.

  1. Konum
    ve yer değiştirme

Konum ve yer değiştirme vektörel niceliklerdir. Konum,
nesnenin uzaydaki yeridir. Uzayda belirlenen bir koordinat sisteminde nesne nerede
bulunuyorsa (örnek: ),
nesnenin konumu bu koordinat sisteminin bağlı olduğu değişkenlere göre ifade
edilebilir. Yer değiştirme ise nesnenin hareketi sonucunda konumunun değişimidir.
Bir değişimi belirtmek için kullanılabilen Δ (delta), yer değiştirme için de
kullanılabilir. (Örnek: ilk konum,  son konum olmak üzere, yer değiştirme Δ = ‘dir.)

  1. Hız
    ve ivme

Hız, birim zamandaki yer değiştirme olarak tanımlanabilir, vektöreldir.
Birim zamandaki yer değiştirme; seçilen zaman birimi saniye olsun, 1 saniye
başına hareketlinin yaptığı yer değiştirmedir. Basit bir örnekle ifade
edilirse, sabit hıza sahip bir hareketlinin hızı, matematiksel olarak   ile ifade edilir ve hesaplanır. Birimi MKS
(metre-kilogram-saniye) birim sistemine göre metre / saniye’dir, kısaca m/s ile
ifade edilir. Hız (velocity) vektörünün büyüklüğüne sürat (speed) denir. Her vektörün büyüklüğü yönden bağımsız olduğu
için sürat yön bilgisi içermez. İvme ise birim zamandaki hız değişimi olarak
tanımlanabilir, vektöreldir. Benzer ve basit bir örnekle ifade edilirse, sabit
ivmeli bir hareketlinin ivmesi, ile ifade edilir ve hesaplanır. Birimi ise
m/s2’dir. Hız ve ivme genel ifade edildiklerinde (matematiksel ifadeler
en genel durumu temsil etmesi gerektiğinden) zamanla değişen (yani zamana göre
sabit olmayan) durumları da dahil edilir. Zamana göre sabit olmadıklarında
hesaplanma teknikleri buradaki kadar basit değildir (bkz. Newton’un 2. hareket
yasası ve Türeve Giriş).

Newton’un
Hareket Yasaları:

Newton’un hareket yasaları uzay ve zamanın mutlak
olması aksiyomları üzerine kuruludur. Mutlak uzay homojen, bir yeri diğerinden
ayırt edilemez ve hareketsizdir. İçinde bulunan bir nesne onu değiştirmez, onun
yapısına etki etmez.  Mutlak zaman uniform
olarak akar, zaman aralıkları değişmez. Mutlak uzay ve mutlak zaman göreli değildir, olgular bu ikisine göre açıklanır. Şimdi bu iki aksiyomla
beraber yasalara bakalım:

  1. Yasa
    (Eylemsizlik) :     Bir cisme
    dışarıdan bir kuvvet uygulanmıyorsa, cisim duruyorsa durmaya, sabit hızla
    hareket ediyorsa da sabit hızla hareket etmeye devam eder.

Galilei’nin yukarıda aktarılan gemi ve taş örneğine
dönüldüğünde, yerdeki bir referans sistemine göre sabit hızla hareket
eden bir gemi kuvvet uygulanmadığı sürece durmaz, hareketine sonsuza kadar
devam eder. Geminin (ya da neredeyse sabit hızla hareket eden Dünya’nın)
hareketinin anlaşılamayışı, geminin içinde duran herkesin geminin sabit hızına
sahip olmasındandır. Geminin içinde duran herkes birbirini hareket
etmiyormuş gibi görürken (herkesin hızı eşit olduğu için) dışarıdan bakan
gözlemci için gemi ve içindekiler eşit, sabit hızla hareket ederler.  Ama gemide bir yavaşlama (negatif ivme) bu
geminin içindekilerin de gemiden dolayı sahip oldukları hızı değiştireceğinden,
önceki hızlarını sürdürme eğilimindeki yolcular bu hız değişikliğine direnç
gösterirler (eylemsizlik) ve geminin yavaşlamadan önceki hareket yönüne doğru
hareket etme eğilimindedirler (Birçoğumuzun motorlu taşıtlarda ani fren sonrası
tecrübe ettiğimiz gibi). Bu hareketteki değişime direncin ölçüsü, “eylemsizlik”
kütlesi ile ifade edilir. Sabit bir kuvvet uygulanan nesnenin kütlesi
büyüdükçe, eyleme karşı direnci artar (bkz. 2. yasa).

  • Yasa: Cismin üzerine uygulanan net kuvvet sıfırdan
    büyükse, cisim kütlesiyle ters orantılı, uygulanan kuvvetin büyüklüğüyle doğru
    orantılı olarak ivmelenir.

Kuvvet, nesnenin çevresiyle olan bir etkileşim biçimidir ve vektöreldir. Sıfırdan büyük net bir kuvvet nesnenin çevresi (örneğin başka bir nesne) tarafından uygulandığında nesnenin hızında değişime neden olur. Bu değişim kütle ile ters orantılıdır ve buradaki kütle, harekete karşı direncin ölçüsü olan eylemsizlik kütlesidir (inertial mass). Bu matematiksel olarak ifade edilirse, (F)  kuvvet, m kütle ve de a  ivme olmak üzere; (F)=ma→ ‘dır. Kuvvetin birimi Newton (N) olmak üzere; 1N = 1 kg m/s2 ‘dir.  ( (F)=ma→  ifadesi, kütle sabit olduğunda geçerlidir ve  ile de ifade edilebilir. İvme burada zamanla değişmeyen, sabit yerine daha genel olan sonsuz küçük değişimlerin (diferansiyel, dv  ve dt ) oranı ile ifade edilmiştir. Diferansiyel hesap üzerine yaptıkları çalışmalarla Newton ve Leibniz matematiğe önemli katkılarda bulunmuşlardır. (Diferansiyel nedir? Türev nedir? Bkz. Türeve Giriş)

  • Yasa
    (Etki – Tepki):     Kuvvetler
    çiftler halindedir. Bir cisme kuvvet (etki (action)) uygulanıyorsa cisim de
    kuvveti uygulayana eşit büyüklüklü ve zıt yönlü bir kuvvet (tepki (reaction))
    uygular.

Bu iki kuvvetten ilkine (birincinin ikinciye uyguladığı kuvvet, etki) (f_1,2 )→ ve ikincisine (tepki, ikincinin birinciye uyguladığı kuvvet) (f_2,1 )→ denirse, 3. yasa vektörel olarak ifade edildiğinde (f_1,2 )→ = -(f_2,1 )→ ‘dir.

Newton hareket yasaları, 1. yasanın sağlandığı
referans sistemlerinde geçerlidir. Bu referans sistemlerine eylemsiz referans
sistemleri denir. Yani, eylemsiz referans sistemleri içinden nesnelerin
hareketleri gözlemlendiğinde, (1. yasaya uygun olarak) cisme uygulanan
kuvvetlerin toplamı sıfırsa; cisim duruyorsa 
durmaya, sabit hızla hareket ediyorsa da sabit hızla hareketine devam
eder. Eylemsiz olmayan referans sistemleri içindeyken yalancı (fiktif (fictitious))
kuvvetler izlenir. Eğer bu kuvvetler 2. yasada nesnenin üzerine etkiyen diğer
kuvvetlerle hesaba katılabilirse 2. yasa çalışabilir.

Newton’un
Evrensel Kütle Çekim (Gravitasyon) Yasası

Şekil 6. İki kütlenin birbirlerine uyguladıkları kütle çekimi [11]. G kütle çekim sabiti, m1 ve m2 kütleler, F1 ve F2 eşit büyüklüklü zıt yönlü kuvvetlerin büyüklüğü, r iki kütle arasındaki uzaklık.

Newton’a göre tüm kütleler birbirlerini, kütlelerin
büyüklüğü ile doğru orantılı, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı
olarak çekerler. 3. hareket yasası da dikkate alındığında 1. kütlenin 2.
kütleye uyguladığı, 2. kütlenin de 1. kütleye uyguladığı  kuvvet eşit büyüklüklü ve zıt yönlüdür (Şekil
6). Gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketinin bir açıklaması bu yasa ile
gelir.  İki kütle için bu kuvvetin
büyüklüğü şekil 6’da belirtildiği gibidir.

2. hareket yasası ile bu yasa
birlikte değerlendirildiğinde, yüksek hassasiyetle yapılan deneyler, buradaki
kütle çekimi etkisine giren (gravitasyonel) kütle ile 2. yasanın belirttiği
eylemsizlik kütlesinin (10-12 hassasiyetle) eşit kabul edilebileceğini göstermiştir
[12].

2. yasa tüm kütleleri kapsadığı için yerçekimi de bu yasa ile ifade edilebilir. Bir nesneye uygulanan   yerçekimi kuvveti, o nesnenin ağırlığıdır ve bu kuvvet vektörel ifade ile m  cismin kütlesi, (g)→ yerçekimi ivmesi olmak üzere fg→  = mg→  dir.

TÜREVE
GİRİŞ:                                                                
              

Aralarındaki matematiksel ilişkiyi bir fonksiyon ile sağladığımız bağımsız değişken x ile ona bağımlı değişken y için türev, bu fonksiyonun bağımsız değişkeni x’in değişimi ve buna bağlı değişken y’nin yani f(x)’in değişimi ile ilgilidir. Konuya doğrudan girmeden önce doğrusal fonksiyonlarda (genel ifadesi y=f(x)= m.x + b ) x’in değişimi sonucu y’nin değişimini incelemekle başlayalım, daha sonra doğrusal olmayan fonksiyonlar için bir örnek ele alıp bu değişimleri inceleyelim.

Doğrusal
ve Doğrusal Olmayan Fonksiyonlarda Değişimlerin Oranı:

Genel ifadesi y=f(x)= m.x + b olan
doğrusal fonksiyona bir örnek olarak, y=f(x)=20x’i ele alalım. Örnek olması
bakımından, y=f(x) bir musluktan akan suyla dolan havuzda bulunan su miktarını
litre (L) cinsinden temsil etsin. x bağımsız değişkeni de açıldığı andan
itibaren dakika cinsinden anları temsil etsin. Şu durumda havuzda 1. dakikada
f(1)=20.1=20 L, 2. dakikada f(2)=20.2=40 L, 3. dakikada f(3)=20.3=60 L, 4.
dakikada … olmak üzere su bulunmuş olur. Farklı zaman aralıklarına bakarak (örneğin
2. dakika ve 3. dakika ya da 1. dakika ve 3. dakika arasında) dakikada kaç
litre su aktığını hesaplamak istersek bunu nasıl hesaplarız? Cevap basittir:
Geçen sürede kaç litre su aktığını bulup, geçen süreye oranlarız. Örneğin 2. dakika
ve 3. dakika (dk) arasında Δx = xson – xilk= 3 – 2 = 1 dk
ve Δy = yson – yilk = 60 – 40 = 20 L olur. Son olarak Δy
/ Δx = 20 / 1 = 20 L /dk olarak hesaplarız. Bu sonuç farklı zaman aralıklarında
da böyle midir? 1. dakika ve 3. dakika arası  için de aynı hesabı yaparsak Δx = xson
– xilk= 3 – 1 = 2 dk ve Δy = yson – yilk = 60
– 20 = 40 L, buradan Δy / Δx = 40 / 2 = 20 L/dk olarak hesaplanır. Görüldüğü
gibi sonuç her iki durumda da eşittir. Burada bir dakikada akan suyu hesaplarken,
biri x’e (an’a) bağımlı değişken olan y’nin (havuzdaki su miktarı), diğeri
bağımsız değişken olan x’in, değişimlerinin oranını hesaplamış oluyoruz. Doğrusal
fonksiyonlar için Δx aralığını ister küçük tutun, ister büyük tutun Δy / Δx
oranı sabit olacaktır.

Şekil 1. y=f(x)=20x grafiği. Δy’ler ve Δx’ler gri, uçları okla belirtilmiş uzunluklar. Δy’ler, küçük punto ile yazılmış olanı yson – yilk = 60 – 40 = 20  ve büyük punto ile yazılmış olanı yson – yilk = 60 – 20 = 40; Δx’ler, küçük punto ile yazılmış olanı xson – xilk = 3 – 2 = 1 ve büyük punto ile yazılmış olanı xson – xilk = 3 – 1 = 2 (y değerleri litre (L), x değerleri dakika (dk) cinsinden )

Geometrik olarak değerlendirildiğinde de  y= f(x) = 20x fonksiyonunun grafiğinin bir doğru (Şekil 1’de grafikteki doğru (siyah)) olduğu ve Δy / Δx oranlarının da bu doğrunun eğimi olduğu görülür. Yukarıda hesaplanan Δy’ler  ve Δx’ler grafikte görünmektedir. Doğru için hesaplanan eğimler de Δx’lerin y=20x doğrusu ile yaptığı α (alfa) açılarının tanjantlarına (tan α) eşittir. Δx’ler  birbirine paralel olduklarından α açıları da birbirine eşittir.

 Yukarıdaki grafikte doğruyu istediğimiz kadar
uzatalım ya da kısaltalım, doğrunun yatayla (yani Δx doğru parçası ya da x
ekseni) yaptığı açı (α) değişmeyecektir, dolayısıyla bu açının tanjantı da
değişmeyecektir, tan α = (Δy / Δx) olacağından, 1 dakikada havuza akacak olan su
miktarı her zaman 20 L olarak kalacaktır, yani sabittir.

Doğrusal
fonksiyonlarla ilgili olarak;

  1. Genel
    matematiksel formu y = f(x) = m.x + b’dir.
  2. Geometrik
    olarak değerlendirildiğinde, y=f(x)’in grafiğinin bir “doğru” olduğu görülür.
  3. Bu
    fonksiyonun grafiği olan doğrunun eğimi, x’in önündeki katsayı m’dir.
  4. Bu
    eğim, grafikte doğrunun, yatayla ve dikeyle oluşturduğu dik üçgende, doğrunun
    yatayla yaptığı açının (yukarıdaki grafikte α açısınının) tanjantına eşittir (m
    = tan α). tan α da y ve x değişkenlerinin değişimlerinin oranına eşittir (Δy /
    Δx = tan α)
  5. Doğrusal
    fonksiyonlar için bu değişimlerin oranı, diğer bir deyişle doğrunun eğimi
    sabittir. Değişimler  (Δy ve Δx ) değişse
    de Δy / Δx oranı değişmez, grafikte α değişmez, dolayısıyla tan α da değişmez.

Şimdi şu soruyu sorabiliriz:
Değişimlerin oranı her fonksiyon için sabit midir?

Yukarıdaki örnek
üzerinden gitmeye devam edelim ve iki durum düşünelim: musluktan eşit zaman
aralıklarında, örneğin 1. ile 2. dakika anları arasında kalan sürede (yani 1
dakika) akan suyla, 2. ile 3. dakika anları arasında kalan sürede (yani bir
başka 1 dakika) akan su miktarları farklı olsa, her iki durum için dakikada
akan su miktarları (Δy / Δx) eşit olur mu? (Bu soruya aşağıdaki satıra bakmadan
kendiniz cevap vermeye çalışın.)

 Cevap: Δx’ler eşit (yani 1 dakika) ama Δy’ler
farklı olduğundan Δy / Δx oranı eşit olmayacaktır. Böyle bir farklılık doğrusal
fonksiyonlarla ifade edilemez. Çünkü doğrusal fonksiyonlarda Δy / Δx oranı
sabittir. Değişimlerin oranının sabit olmadığı bu durumu, örneğin bir kuvvet
fonksiyonu ile ifade edebiliriz. Benzer incelemeyi doğrusal olmayan fonksiyona
örnek olarak bir kuvvet fonksiyonu seçerek yapalım. Bu sefer farklı bir
musluğun doldurduğu havuzda grafiği şekil 2’de verilen y  = f(x) = 2x2 kuvvet fonksiyonuna
göre su bulunsun. Yani 1. dakikada y = f(1)=2.(1)2 = 2 L, 2.
dakikada y= f(2)=2.(2)2 = 8 L, 3. dakikada y= f(3)=2.(3)2
= 18 L havuzda su bulunsun. Değişimlerin oranlarına doğrusal fonksiyon
örneğindeki gibi bu kez 1. dk – 2. dk ve de 2. dk – 3. dk arası için bakalım. İlk
durum için Δy /Δx = (yson – yilk ) / (xson – xilk
) = (f(2) – f(1)) / (2-1) = (8 – 2) / 1 = 6 L/dk, ikinci durum için ise Δy /Δx
= (yson – yilk ) / (xson – xilk ) =
(f(3) – f(2)) / (3-2) = (18 – 8) / 1=10 L/dk olarak hesaplanır. Bu iki durumdan
görülebileceği gibi eşit zaman aralığı içinde (burada 1 dakika) musluktan eşit
miktarda su akmamıştır. O halde bu örnekte değişimlerin oranları farklı
hesaplanmaktadır.

 Δx’i 1 dk’nın altına
indirip yine birim zamanda akan su miktarını hesapladığımızda da yine  Δy /Δx ‘i farklı değerlerde buluruz. Örneğin
1-1,5 dk aralığına bakalım: Δy /Δx = (yson – yilk ) / (xson
– xilk ) = (f(1,5) – f(1)) / (1,5-1) = (4,5 – 2) / 0,5 = 5 L/dk
olarak hesaplanır. O halde bu aşamada şu soruları sorabiliriz: “Birim zamanda musluktan
ne kadar su akmaktadır?” sorusunun cevabı bulduğumuz cevaplardan hangisidir? Neden
farklı farklıdır? Hepsi mi doğrudur? Yoksa hepsi yanlış mıdır?

Elbette Δy /Δx oranı, burada birim zamanda akan suyu hesaplamamızın başlangıç noktasıdır. Seçilen xson ve  xilk değerlerine göre yson ve yilk değerleri farklılaşır, doğrusal fonksiyonlarda da bu böyleydi. Doğrusal fonksiyonlarda eşit Δx’li durumlar için Δy’ler de eşittir, bu yüzden Δy /Δx oranları değişmez. Fakat burada farklılık, seçtiğimiz Δx’ler eşit olsa da Δy’lerin farklı olmasındandır. Buna bağlı olarak ta Δy/Δx oranları farklı hesaplanmaktadır. Δy /Δx oranına Δx’ler daha da küçültülerek bakıldığında, bu oranın yine farklılaşmaya devam ettiği hesaplanır. Δx’in sıfıra yaklaşması, zaman aralığından xilk anının kendisine yaklaşmamız anlamına gelir ki; bu durum bize şunu düşündürür: Musluktan birim zamanda akan su, seçilen zaman aralıklarına göre değişkenlik göstermektedir, dolayısıyla bu aşamadan sonra birim zamanda akan su miktarından anlık olarak bahsetmek gerekir. Yani Δx sıfıra giderken (Δx’in sıfıra gitmesi Δx à 0 ile gösterilir.) Δy /Δx oranına bakılır ve birim zamanda akan su miktarı anlık olarak hesaplanır. Yani musluktan akan su miktarı, anlık olarak değişmektedir ve an’a bağımlıdır. Bu aşamadan sonra Δy /Δx oranı Δx à 0 limit durumda hesaplanır. İşte bağımsız değişkene bağlı değişim Δx sıfıra giderken (yani Δx à 0), Δy /Δx ile ifade edilen değişimlerin oranına “türev” adını veriyoruz.

Matematiksel ifadeyle türev, limit ile hesaplanır ve türevin bir diğer ifadesinde Δy ve Δx’teki Grek alfabesinden gelen ve fark anlamı taşıyan Δ, yerini “d” harfine bırakır. Bir bağımlı değişkenin (burada y) bağımlı olduğu bağımsız değişkene (burada x’e) göre türevi  ile ifade edilir ve = ‘tir. Buradaki “d” harfi diferansiyeli temsil eder ve diferansiyel “sonsuz küçük değişim” anlamı taşır. Yani Δx → 0 durumunda Δx, dx adını alır ve x’e göre değişen y için de Δy, dy adını alır. Yani türev sonsuz küçük değişimlerin oranıdır (dy/dx).

Şekil 2’de y=f(x)=2x2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır. Bu bir doğrusal fonksiyon olmadığı için grafik bir doğru değildir. Bu bir “eğridir” (gri). Yukarıda çeşitli x ve y’ler için hesapladığımız Δy/Δx oranları, geometrik olarak bakıldığında, eğri üzerinde bu x ve y’lere karşılık gelen noktalardan (yani (xilk,yilk) ve (xson,yson) noktalarından) geçen doğru parçalarının eğimleridir. Eğri üzerinde seçilen iki nokta için (yani (xilk,yilk) ve (xson,yson)) Δx 0’a yaklaştıkça (yani xson xilk’e yaklaştıkça)bu iki noktadan geçen doğru parçasının gittikçe eğrinin üzerindeki (xilk,yilk) noktasından geçen teğeteyaklaştığı izlenir. Bir diğer deyişle türevi, eğrinin üzerinde belirlenen bir (x,y) noktasından geçen teğetin eğimini verir.  

Şekil 2. y = f(x) = 2x2 fonksiyonunun grafiği. (1,2) noktasından geçen teğet (kesikli dolgusuz çizgi), (1,2) ve (2,8) noktalarından geçen doğru parçası  (kesikli dolgulu çizgi), (2,8) ve (3,18) noktalarından geçen doğru parçası (düz çizgi), bu nokta çiftlerini birleştiren doğru parçalarından her birinin  hipotenüs, Δx ve Δy’lerin (bitiş ve başlangıçları okla belirtilmiş, kesikli noktalardan oluşan doğru parçalarının) dik kenarlar olduğu dik üçgenlerde α ve β açıları gösterilmiştir.  α ve β açıları farklı değerlerdedir.

Şekil
2’deki grafikte eğri üzerinde (xilk,yilk) = (1,2) ve (xson,yson)
= (2,8) noktalarından geçen doğru parçası (kesikli dolgulu çizgi),  Δx à 0 (x değerleri, xson
= 2’den xilk = 1’e yaklaşırken, Δx 0’a yaklaşır.) durumunda gitgide,
eğri üzerinde (xilk,yilk) = (1,2) noktasından geçen teğete (kesikli dolgusuz çizgiye) yaklaşır.

Yukarıda
farklı farklı değerlerle hesapladığımız Δy/Δx oranları ne anlama gelir ? Onlar da
belirlediğimiz Δx aralıkları için musluktan birim
zamanda akan ortalama su miktarlarıdır.

KAYNAKLAR:

  1. Galilei, G. (2008). İki Büyük Dünya Sistemi Hakkında Diyalog. (R. Aşçıoğlu, Çev.) İstanbul: Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları. (Orijinal çalışma basım tarihi 1632)

  • Copernicus, N. (2010). Göksel
    Kürelerin Devinimleri Üzerine. (C. Cengiz Çevik, Çev.) İstanbul:

Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları. (Orijinal çalışma
basım tarihi 1543)

  • Bernal, J.D. (1995). Modern Çağ
    Öncesi Fizik. (D. Yurtören, Çev.) Ankara: Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma
    Kurumu. (Orijinal çalışma basım tarihi 1972 )

  • Aristotelian Universe. Cosmological
    Theories Through History.

https://www.physicsoftheuniverse.com/photo.html?images/cosmologies_aristotelian.jpg

            [Erişim
tarihi: 21.06.2020]

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

  • Adler,  C. G. & Coulter, B. L. (1978). Galilei
    and the Tower of Pisa experiment. Am. J. Phys. 46(3), 199-201.

  1. Cartesian Coordinate
    System. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Coord_XYZ.svg/360px-Coord_XYZ.svg.png

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

  1. Newton’s Law of Gravitation.
    https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg

[Erişim
tarihi: 21.06.2020]

  1. Young,
    D.H.,Freedman, R.A., Ford, A. L. (2012). Sears and Zemansky’s University
    Physics with Modern Physics. (13th ed.). Addison-Wesley.

[1] Hızların
ışık hızına yaklaşmadığı, kuantum ve genel görelilik etkilerinin dikkate
alınmadığı, klasik mekaniğin geçerli sonuçlar verdiği ölçek. 

Hakan Albayrak