İnsanlar en eski dönemlerden beri doğada belli bir sistem, bir döngü olduğunu fark etmişlerdir. Güneşin doğup battığını, gündüz ile gecenin birbirlerini kovaladıklarını, mevsimlerin değişip tekrar geri geldiklerini saptamışlardır. Doğada bir döngü hareketi her boyutta bulunuyor. Elektronlar atom çekirdeği etrafında, ay dünya etrafında, dünya da güneş etrafında dönüyor. İnsanlar evreni ve çevrelerini anlayıp tutarlı bir şekilde açıklamak için önce mitoslar ve destanlar, zaman içinde pozitif doğa bilimlerini geliştirmişlerdir. Fakat maddeyi ve doğayı anlamak, her şeyden önce bir yorum meselesidir. Zira her kuram önce bir model, bir yorum olarak başlar ve deneylerle, gözlemlerle onaylanınca da kurama dönüşür. Maddi dünyayı pozitif bilimlerle yorumlamak, insanoğlunun bitmeyen bir uğraşı olmaya devam etmektedir.
Maddi dünyadan kasıt; uçsuz bucaksız evren, evrendeki büyük gök adaları, gök nesneleri ve nihayet yakın çevremizdeki cansız ve canlı varlıkların âlemidir. Hepimizin bildiği gibi değişik bilim dalları evrenin kendisi ile ve içindekilerle ayrı ayrı ilgilenmekte, ayrıntılı açıklamalar getirmeye çalışmaktadır. Bu yazıda yapmaya çalışacağım yaklaşım, doğadaki canlı ve cansız varlıkların temel yapılarını açıklamaya çalışmak ve bazı temel sabitlerin sonsuz olduklarını göstermektir.
Eskiden beri insanların yapmış olduğu en temel tespit, doğada değişmeyen hiçbir şey olmadığıdır. Her “şey” sürekli değişim halindedir. Değişmeyen tek şey değişimdir, sözünü hepimiz duymuşuzdur. Bizim vücudumuzdaki hücreler dahi değişiyor. Eskiler ölüp yerlerine yenileri geliyor. Fakat öte yandan değişim sürekli olsa da bir tekrar durumu var. Bu tekrar olayı fotokopi gibi bire-bir tekrar olmayıp, benzeşim şeklinde gerçekleşiyor. Örneğin, bir elma çekirdeği yere karışınca bir elma fidanı oluyor. Fidan ağaca dönüşüyor ve ağaç elma meyvesi oluşturuyor. Meyve yere düşünce çürüyor ve çekirdek yeniden fidan üretiyor. Bu örnekte sürekli değişim var ama bir tekrar da var. Fakat tıpatıp tekrar yok. Çünkü hiç bir elma ağacı diğer bir elma ağacının aynen kopyası değil. Hiçbir elma da diğer bir elmanın kopyası değil. Rengi az da olsa farklı, şekli farklı, boyu farklı. Ama hepsi de elma.
Doğada gözlediğimiz sistemlerde ortak bir yapı, temel bir benzeşim olmakla birlikte, bu karmaşık yapıyı lineer (doğrusal ve sürekli) denklemlerle ifade etmek mümkün değildir. İlk bakışta çok karmaşık gibi görünen pek çok doğa olayını oluşturan ortak bir tabanın bulunduğu görüşü artık kaçınılmaz bir gerçek olarak beliriyor. Bu tabanın adına matematikçiler, kesirli boyut içerdiği için, fraktal demişlerdir. Çevremizdeki nesnelerin enleri, boyları ve yükseklikleri vardır. Bu özellikleri birbirlerine dik üç eksen boyunca ve sürekli bir şekilde tanımlayabiliriz. Böylece doğadaki tüm varlıkların 3 boyutlu oldukları sonucuna ulaşırız. Oysaki fraktallerin boyutları tam sayılı değildir. Kesirli boyutların var olduğunu şu basit örnekle gösterebilirim:
Bir doğru parçası tek boyutlu olduğundan N tane L uzunluğu 1 birim olsun. İki boyutlu bir kare alanı da N tane eşit alana sahip küçük karelere böldüğümüzde N.L2 = 1 olur. Küp için ise benzer şekilde N.L3 = 1 elde ederiz. Burada 1, 2, 3 sayıları nesnenin boyutunu belirtiyor. Denklemi B boyuta genelleştirirsek N.LB = 1 elde ederiz. Bu denklemdeki B boyutunu çözecek olursak B = log (N) / log (1/L) elde edilir. En genel B boyut sayısının bir tamsayı olmadığını görüyoruz. Kesirli boyut içeren fraktalleri bir görüntü halinde dünyaya sunan kişi Benoit Mandelbrot’dur (1924 – 2010).
Mandelbrot’un geliştirmiş olduğu fraktal matematiği basit bir denklemden başlayarak ve sürekli kendini tekrar ederek gittikçe karmaşık hale dönüşen, fakat temel benzeşimini koruyan geometrik yapıları gözler önüne sermiştir. Fraktallerin kesirli boyut içerdiklerini şu basit örnekle göstermek mümkündür. Üstte görülen 4 tane eşit parçadan oluşmuş bir kırık çizgi ile başlayalım. Her bir parçayı 3 eşit kısma bölerek 2 ve 3 no.lu parçaları eklediğimizde 4 adet başlangıç şekli elde ederiz. Aynı durumu her küçük parça için tekrarladığımızda fraktal Koch eğrisi ortaya çıkar. Şimdi bu eğrinin boyutunu hesaplayalım. Başlangıçta 4 eşit parça bulunduğundan N = 4 olur. Başlangıçtaki her bir parça 3 eşit kısma bölündüğünde L = 1/3 olduğundan eğrinin boyutu:
B = log (4) / log (3) = 1.2618… elde edilir.
Gittikçe karmaşıklaşan Koch eğrisinin boyutunun 1’den fazla 2’den az olduğu anlaşılıyor. Yani, ne tam olarak tek boyutlu bir çizgidir ne de tam olarak iki boyutlu bir alandır. Veya başka bir ifade ile “Hem çizgi hem alan” özelliği içeren bir fraktal yapıdır. Fraktal yapıları oluşturan matematiğin kökeninde doğrusal olmayan bir denklemin kendi üzerine “iteratif” (tekrarlayan) sürekli tekrarı bulunur.
Fraktal yapılara örnek olarak gökteki bulutları, ağaçların dal ve yapraklarını, hatta akciğerin içyapısını ve parmak izlerini dahi gösterebiliriz. Fraktal matematik bir sanat dalı olarak o kadar ileri gitmiştir ki doğadaki oluşumları büyük bir gerçeklikle kurgulayabilmekte, bilgisayar ekranında sergileyebilmektedir. Altta fraktal oluşumlara örnek olarak solda fraktal dağlar, ortada fraktal çiçekler ve sağda fraktal bir dünya görülüyor.
Günümüzde, basit diferansiyel denklemlere dökülemeyen olayları fraktal matematiği ile açıklamaya çalışan yeni bir bilim dalı olarak Karmaşa (Kaos) Kuramı gelişiyor. Karmaşa deyince sonucu tahmin edilemeyen, hiçbir bilgisayarın çözemeyeceği kadar girift matematik gerektiren doğa olayları akla geliyor. Oysaki sayıların renklere dönüşümü sayesinde çok karmaşık bir gelişim sürecini, bütüncül olarak, tek bir dinamik resim olarak izleyebilmekteyiz. Fraktal matematiği kesirli boyutlar içerdiğinden fizik alanında kullanılabileceği gibi biyolojide de kullanım alanı bulacaktır. Zira hücreleri incelediğimizde, karmaşık yapılı fraktaller olduklarını görüyoruz. Bugün için sanat alanı olarak kabul edilen fraktal geometrisi ve yeni bir matematik dalı olmaya aday Kaos kuramı gelecekte iklim biliminde, biyoloji ve genetik biliminde, tıpta, hatta ekonomide bile uygulama alanları bulacaklardır.
Doğrusal bir gelişme göstermeyen sistemlerde, çok yakın başlangıç şartları dahi çok farklı sonuçlar verebilirler. İşte Karmaşa (Kaos) kuramında kelebek etkisi denen olay budur. Eğer gelişim ve etkileşim doğrusal olmayıp karmaşık ise bir kelebeğin kanat çırpışı kadar ufak bir etki dahi zamanla çok büyük farklara, örneğin bir fırtınaya yol açabilir. Kayalardan akan suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi, fırtınalı rüzgârlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların yuvarlanışı, kalbin kaotik çarpması (fibrilasyona girmesi) gibi çok farklı olaylar kaos içerirler ve ancak karmaşa kuramı ile açıklanabilirler.
Fizikçiler birkaç yüzyıldır matematik çözümü kolay olan “doğrusal” denklemlerle ve fonksiyonlarla ilgilendiler. Klasik fizik tümüyle doğrusal denklemlere dayanır. Oysaki doğada hem düzgün davranışlar hem de karmaşık davranışlar ve yapılar bulunur.
İlginç bir örnek olarak Lorenz Fraktali’ni görüyoruz. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgârları gibi) belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayların farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını şimdi daha iyi anlıyoruz. Bir meteorolog olan Edward Lorenz (1917 – 2008), hava akımlarındaki mevsimlik değişimleri incelerken havadaki belli birtakım ölçüm değerlerinin iki adet acayip çekici nokta arasında gidip geldiklerini saptamıştır. Belli birtakım yörüngeler boyunca değişen bu değerler benzeşmekte fakat asla tekrarlanmamaktadır. Her yörüngenin diğerine göre biraz farklı olduğu görülüyor. Demek ki tekrar olsa da asla aynı olay bire bir tekrarlanmıyor. Daima ufak farklılıklar oluşuyor. Bu sayede sistem belli aralıklar arasında kalıp, kendini ufak farklarla tekrarlıyor.
Evrenin yapısını ve doğa olaylarını açıklamaya çalışan gerek klasik fizik kuramı gerekse Kuantum kuramı ve Görelilik kuramı birtakım “doğa sabitleri” tanımlamışlardır. Kuram içinde bu sabit sayıların gerçekten sonlu oldukları sanılır. Oysaki bu sayıların yapısında dahi karmaşa ve sonsuzluk vardır. Örneğin π (pi), e ve h (Planck sabiti) harfleriyle tanımlanmış olan sabit sayıların her biri irrasyonel sayılardır. Bunlar sonsuza kadar uzayan fakat asla belirgin bir tekrar içermeyen sayılardır. Üstelik iki tam sayının oranı olarak da ifade edilemezler. Her irrasyonel sayı kendini tekrarlamayan sayılar dizisi içinde sürer gider. Fizik kuramlarında kullanılan sabit sayıların dahi irrasyonel olduklarını ve karmaşa ile sonsuzluk içerdiklerini kabul etmek zorundayız.
İlginç bir irrasyonel sayı olarak, Fi adı ile bilinen Altın Oran sayısını pek çok doğal yapıda buluyoruz. Göze en hoş gelen ve en estetik oran olduğundan Fi sayısına Altın Oran denmiştir. İrrasyonel bir sayı olan Φ (Fi) = 1.618033988…. şeklinde sonsuza kadar devam eder. Bitkilerin kozalaklarında, Nautilus adı verilen bir tür deniz kabuklusunda, deniz minaresinde, hatta en eski fosil kalıntılarından salyangoza kadar Altın Oran’ın varlığını görmekteyiz.
Altın Oranı hesaplamak için A uzun ile B kısa iki parçadan oluşan bir doğruyu göz önüne alalım. Alttaki resimde görülen A+B doğrusunu öyle bölelim ki, A+B/A = A/B olsun. Yani tüm doğrunun uzunluğunun uzun parçaya bölümü uzun parçanın kısa parçaya bölümüne eşit olsun. Resimde görüldüğü gibi denklemin bir pozitif kökü Altın Oranı verir. Altın Oranı belirten Fi sayısı irrasyonel olduğundan, her kabuklu tür biraz farklı şartlarda oluştuğundan, farklı deniz kabuklularının gelişmesine yol açar. Bu gelişimde yine Kelebek Etkisi’nin varlığını buluyoruz. Doğadaki pek çok oluşumda hem düzen hem karmaşa bulunması doğadaki temel belirsizliğin sonucudur. Altta sağda görülen şekil Altın Oran içeren spiralin oluşumuna neden olan Fibonacciserisidir. Bu seri iki adet 1 ile başlar ve serideki her yeni sayı, önceki iki sayının toplamından oluşur.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… şeklinde seri sonsuza kadar devam eder. Serideki iki sayının oranı ise limitte Altın Oran sayısına yaklaşır. Fakat Altın Oran sayısı irrasyonel olduğundan sonsuz basamaklıdır ve doğanın sonsuzluğunu yansıtır. Altta bu sayının hesaplanışını ve çeşitli doğal varlıklarda bulunduğunu görüyoruz.
